SymPy - Python での記号数学

概要

SymPy は、数値近似ではなく数学記号を使用した正確な計算を可能にする、Python 用記号数学ライブラリです。このスキルは、SymPy を使用して記号代数、微積分、線形代数、方程式の求解、物理計算、およびコード生成を実行するための包括的なガイダンスを提供します。

このスキルを使用する場合

以下の場合に、このスキルを使用してください：

• 方程式を記号的に解く（代数方程式、微分方程式、連立方程式）
• 微積分演算を実行する（導数、積分、極限、級数展開）
• 代数式を操作および簡約化する
• 行列と線形代数を記号的に扱う
• 物理計算を行う（力学、量子力学、ベクトル解析）
• 数論計算を実行する（素数、因数分解、剰余演算）
• 幾何計算を実行する（2D/3D 幾何、解析幾何）
• 数式を実行可能なコードに変換する（Python、C、Fortran）
• LaTeX またはその他の形式で出力した数式を生成する
• 正確な数学結果が必要な場合（例：1.414... ではなく sqrt(2)）

コア機能

1. 記号計算の基礎

シンボルと式の作成：

from sympy import symbols, Symbol
x, y, z = symbols('x y z')
expr = x**2 + 2*x + 1

# 仮定付き
x = symbols('x', real=True, positive=True)
n = symbols('n', integer=True)

簡約化と操作：

from sympy import simplify, expand, factor, cancel
simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)  # 1 を返す
expand((x + 1)**3)  # x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
factor(x**2 - 1)    # (x - 1)*(x + 1)

詳細な基礎について： references/core-capabilities.md を参照してください

2. 微積分

導数：

from sympy import diff
diff(x**2, x)        # 2*x
diff(x**4, x, 3)     # 24*x（3 階導数）
diff(x**2*y**3, x, y)  # 6*x*y**2（偏導数）

積分：

from sympy import integrate, oo
integrate(x**2, x)              # x**3/3（不定積分）
integrate(x**2, (x, 0, 1))      # 1/3（定積分）
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))  # 1（広義積分）

極限と級数展開：

from sympy import limit, series
limit(sin(x)/x, x, 0)  # 1
series(exp(x), x, 0, 6)  # 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)

詳細な微積分演算について： references/core-capabilities.md を参照してください

3. 方程式の求解

代数方程式：

from sympy import solveset, solve, Eq
solveset(x**2 - 4, x)  # {-2, 2}
solve(Eq(x**2, 4), x)  # [-2, 2]

連立方程式：

from sympy import linsolve, nonlinsolve
linsolve([x + y - 2, x - y], x, y)  # {(1, 1)}（線形）
nonlinsolve([x**2 + y - 2, x + y**2 - 3], x, y)  # （非線形）

微分方程式：

from sympy import Function, dsolve, Derivative
f = symbols('f', cls=Function)
dsolve(Derivative(f(x), x) - f(x), f(x))  # Eq(f(x), C1*exp(x))

詳細な求解方法について： references/core-capabilities.md を参照してください

4. 行列と線形代数

行列の作成と演算：

from sympy import Matrix, eye, zeros
M = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
M_inv = M**-1  # 逆行列
M.det()        # 行列式
M.T            # 転置

固有値と固有ベクトル：

eigenvals = M.eigenvals()  # {固有値: 重複度}
eigenvects = M.eigenvects()  # [(固有値, 重複度, [固有ベクトル])]
P, D = M.diagonalize()  # M = P*D*P^-1

線形システムの求解：

A = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
b = Matrix([5, 6])
x = A.solve(b)  # Ax = b を解く

包括的な線形代数について： references/matrices-linear-algebra.md を参照してください

5. 物理と力学

古典力学：

from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols, LagrangesMethod
from sympy import symbols

# システムを定義
q = dynamicsymbols('q')
m, g, l = symbols('m g l')

# ラグランジアン (T - V)
L = m*(l*q.diff())**2/2 - m*g*l*(1 - cos(q))

# ラグランジュ法を適用
LM = LagrangesMethod(L, [q])

ベクトル解析：

from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, dot, cross
N = ReferenceFrame('N')
v1 = 3*N.x + 4*N.y
v2 = 1*N.x + 2*N.z
dot(v1, v2)  # スカラー積
cross(v1, v2)  # クロス積

量子力学：

from sympy.physics.quantum import Ket, Bra, Commutator
psi = Ket('psi')
A = Operator('A')
comm = Commutator(A, B).doit()

詳細な物理機能について： references/physics-mechanics.md を参照してください

6. 高等数学

このスキルには、以下の包括的なサポートが含まれます：

• 幾何学： 2D/3D 解析幾何、点、線、円、多角形、変換
• 数論： 素数、因数分解、GCD/LCM、剰余演算、ディオファントス方程式
• 組み合わせ論： 順列、組み合わせ、分割、群論
• 論理と集合： ブール論理、集合論、有限集合と無限集合
• 統計学： 確率分布、確率変数、期待値、分散
• 特殊関数： ガンマ、ベッセル、直交多項式、超幾何関数
• 多項式： 多項式代数、根、因数分解、グレブナー基底

詳細な高等トピックについて： references/advanced-topics.md を参照してください

7. コード生成と出力

実行可能な関数への変換：

from sympy import lambdify
import numpy as np

expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')  # NumPy 関数を作成
x_vals = np.linspace(0, 10, 100)
y_vals = f(x_vals)  # 高速な数値評価

C/Fortran コード生成：

from sympy.utilities.codegen import codegen
[(c_name, c_code), (h_name, h_header)] = codegen(
    ('my_func', expr), 'C'
)

LaTeX 出力：

from sympy import latex
latex_str = latex(expr)  # ドキュメント用 LaTeX に変換

包括的なコード生成について： references/code-generation-printing.md を参照してください

SymPy を使用する際のベストプラクティス

1. 常にシンボルを最初に定義する

from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z')
# これで x, y, z を式で使用できます

2. より良い簡約化のために仮定を使用する

x = symbols('x', positive=True, real=True)
sqrt(x**2)  # 正の仮定により Abs(x) ではなく x を返す

一般的な仮定：real、positive、negative、integer、rational、complex、even、odd

3. 正確な算術を使用する

from sympy import Rational, S
# 正しい（正確）：
expr = Rational(1, 2) * x
expr = S(1)/2 * x

# 間違い（浮動小数点）：
expr = 0.5 * x  # 近似値を作成

4. 必要に応じて数値評価する

from sympy import pi, sqrt
result = sqrt(8) + pi
result.evalf()    # 5.96371554103586
result.evalf(50)  # 50 桁の精度

5. パフォーマンスのために NumPy に変換する

# 多くの評価でこれは遅い：
for x_val in range(1000):
    result = expr.subs(x, x_val).evalf()

# これは高速：
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
results = f(np.arange(1000))

6. 適切なソルバーを使用する

• solveset：代数方程式（推奨）
• linsolve：線形システム
• nonlinsolve：非線形システム
• dsolve：微分方程式
• solve：汎用（従来の方法だが柔軟性あり）

リファレンスファイルの構造

このスキルは、異なる機能のためのモジュラーリファレンスファイルを使用します：

1. core-capabilities.md：シンボル、代数、微積分、簡約化、方程式の求解

   • 以下の場合に読み込む：基本的な記号計算、微積分、または方程式の求解

2. matrices-linear-algebra.md：行列演算、固有値、線形システム

   • 以下の場合に読み込む：行列または線形代数問題を扱う場合

3. physics-mechanics.md：古典力学、量子力学、ベクトル、単位

   • 以下の場合に読み込む：物理計算または力学問題

4. advanced-topics.md：幾何、数論、組み合わせ論、論理、統計学

   • 以下の場合に読み込む：基本的な代数と微積分を超える高等数学トピック

5. code-generation-printing.md：Lambdify、codegen、LaTeX 出力、印刷

   • 以下の場合に読み込む：式をコードに変換または形式付き出力を生成する場合

一般的なユースケースパターン

パターン 1：求解と検証

from sympy import symbols, solve, simplify
x = symbols('x')

# 方程式を解く
equation = x**2 - 5*x + 6
solutions = solve(equation, x)  # [2, 3]

# 解を検証する
for sol in solutions:
    result = simplify(equation.subs(x, sol))
    assert result == 0

パターン 2：記号から数値へのパイプライン

# 1. 記号問題を定義
x, y = symbols('x y')
expr = sin(x) + cos(y)

# 2. 記号的に操作
simplified = simplify(expr)
derivative = diff(simplified, x)

# 3. 数値関数に変換
f = lambdify((x, y), derivative, 'numpy')

# 4. 数値的に評価
results = f(x_data, y_data)

パターン 3：数学的結果をドキュメント化

# 結果を記号的に計算
integral_expr = Integral(x**2, (x, 0, 1))
result = integral_expr.doit()

# ドキュメントを生成
print(f"LaTeX: {latex(integral_expr)} = {latex(result)}")
print(f"Pretty: {pretty(integral_expr)} = {pretty(result)}")
print(f"Numerical: {result.evalf()}")

科学的ワークフローとの統合

NumPy との統合

import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify

x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_array = np.linspace(-5, 5, 100)
y_array = f(x_array)

Matplotlib との統合

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify, sin

x = symbols('x')
expr = sin(x) / x

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_vals = np.linspace(-10, 10, 1000)
y_vals = f(x_vals)

plt.plot(x_vals, y_vals)
plt.show()

SciPy との統合

from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, lambdify

# 方程式を記号的に定義
x = symbols('x')
equation = x**3 - 2*x - 5

# 数値関数に変換
f = lambdify(x, equation, 'numpy')

# 初期推定値で数値的に求解
solution = fsolve(f, 2)

クイックリファレンス：最も一般的な関数

# シンボル
from sympy import symbols, Symbol
x, y = symbols('x y')

# 基本演算
from sympy import simplify, expand, factor, collect, cancel
from sympy import sqrt, exp, log, sin, cos, tan, pi, E, I, oo

# 微積分
from sympy import diff, integrate, limit, series, Derivative, Integral

# 求解
from sympy import solve, solveset, linsolve, nonlinsolve, dsolve

# 行列
from sympy import Matrix, eye, zeros, ones, diag

# 論理と集合
from sympy import And, Or, Not, Implies, FiniteSet, Interval, Union

# 出力
from sympy import latex, pprint, lambdify, init_printing

# ユーティリティ
from sympy import evalf, N, nsimplify

開始するための例

例 1：2 次方程式を解く

from sympy import symbols, solve, sqrt
x = symbols('x')
solution = solve(x**2 - 5*x + 6, x)
# [2, 3]

例 2：導数を計算する

from sympy import symbols, diff, sin
x = symbols('x')
f = sin(x**2)
df_dx = diff(f, x)
# 2*x*cos(x**2)

例 3：積分を評価する

from sympy import symbols, integrate, exp
x = symbols('x')
integral = integrate(x * exp(-x**2), (x, 0, oo))
# 1/2

例 4：行列の固有値

from sympy import Matrix
M = Matrix([[1, 2], [2, 1]])
eigenvals = M.eigenvals()
# {3: 1, -1: 1}

例 5：Python 関数を生成する

from sympy import symbols, lambdify
import numpy as np
x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
f(np.array([1, 2, 3]))
# array([ 4,  9, 16])

一般的な問題のトラブルシューティング

1. 「NameError: name 'x' is not defined」

   • 解決方法：使用前に常に symbols() を使用してシンボルを定義する

2. 予期しない数値結果

   • 問題：Rational(1, 2) の代わりに 0.5 のような浮動小数点数を使用している
   • 解決方法：正確な算術のために Rational() または S() を使用する

3. ループでのパフォーマンスが遅い

   • 問題：繰り返し subs() と evalf() を使用している
   • 解決方法：lambdify() を使用して高速な数値関数を作成する

4. 「この方程式は解けません」

   • 異なるソルバーを試す：solve、solveset、nsolve（数値）
   • 方程式が代数的に解けるかどうかを確認する
   • 閉じた形の解が存在しない場合は、数値法を使用する

5. 期待通りに簡約化が機能しない

   • 異なる簡約化関数を試す：simplify、factor、expand、trigsimp
   • シンボルに仮定を追加する（例：positive=True）
   • 積極的な簡約化のために simplify(expr, force=True) を使用する

追加リソース

• 公式ドキュメント：https://docs.sympy.org/
• チュートリアル：https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/index.html
• API リファレンス：https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html
• 例：https://github.com/sympy/sympy/tree/master/examples